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Rechen-Sudoku

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Rechen-Sudoku sind mathematische Logikrätsel, die gelöst werden, indem man gemäß den Regeln Zahlen in einem Gitter platziert. Jedes Rätsel enthält Blöcke, die von fetten Linien umrandet sind. Ziel ist es, alle Blöcke so mit Zahlen von 1 bis N (N = die Zahl der Reihen und Spalten in einem Gitter) zu füllen, dass jede Zahl in einer Reihe oder Spalte nur einmal vorkommt und sich in jedem Block das Ergebnis ergibt, das in der oberen linken Ecke angegeben ist. In den Blöcken dürfen die Zahlen mehr als einmal vorkommen.

Rechen-Sudoku gibt es in verschiedenen Varianten. Beim SingleOp Rechen-Sudoku wird mit Addition oder Multiplikation gearbeitet. Ganz ähnlich kommen beim DualOp Rechen-Sudoku Addition und Subtraktion oder Multiplikation und Division vor, während beim QuadOp Rechen-Sudoku Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division vorkommen. Die Rechenarten, die in den Blöcken angewendet werden müssen, sind in der oberen linken Ecke eines Blockes angegeben, außer beim SingleOp Rechen-Sudoku. Hier glt für alle Blöcke ein und dieselbe Rechenart, und zwar die, die über dem Gitter angegeben ist.

CalcuDoku puzzle CalcuDoku solution

Beginnen Sie mit den eindeutigen Fällen

Einige Rechen-Sudoku, besonders die einfachen, enthalten Blöcke mit nur einem einzigen Kästchen. Das sind ganz klare Fälle und die Zahl, die in diesem Kästchen platziert werden muss, entspricht der in der oberen linken Ecke, egal, welche mathematische Operation über dem Gitter angegeben ist. Wir können also in dem Beispiel unten eine 2 eintragen.

Starting with the givens (A) Starting with the givens (B)

Eindeutige Blöcke bestimmen

Ähnlich wie bei Kakuro und Sum Sudoku gibt es bei Rechen-Sudoku oft Situationen, in denen nur eine einzige Kombination von Zahlen in einen Block passt. Diese Situationen können beim Rätselstart sehr hilfreich sein, besonders dann, wenn sie bei geraden Blöcken auftauchen. Hier sind einige Beispiele, wie man die eindeutigen Blöcke löst:

Eindeutige Blöcke bestimmen 1:

In der linken Spalte des SingleOp Rechen-Sudoku unten sehen wir einen Block mit zwei Kästchen und der Summe 4. Da die Rechen-Sudoku-Regeln es nicht erlauben, eine Zahl in einer Reihe oder Spalte mehr als einmal zu platzieren, ist nur eine einzige Zahlenkombination möglich, und zwar 1+3. Allerdings wissen wir noch nicht, in welcher Reihenfolge. Wir können also eine 4 in das Kästchen links unten eintragen und eine 3 in das benachbarte Kästchen.

Unique block technique 1 (A) Unique block technique 1 (B)

Eindeutige Blöcke bestimmen 2:

Dieselbe Technik kann für Blöcke mit Multiplikation angewendet werden. In dem Beispiel unten befindet sich in der untersten Reihe ein Block mit dem Multiplikationsergebnis 2. Das bedeutet, dass es nur eine einzige mögliche Zahlenkombination geben kann, nämlich 1x2. Da es in dieser Reihe auch schon eine 4 gibt, kann in dem Kästchen rechts außen nur eine 3 platziert werden. Nachdem wir die 3 eingetragen haben, können wir auch die 1 in das Kästchen darüber setzen.

Unique block technique 2 (A) Unique block technique 2 (B)

Eindeutige Blöcke bestimmen 3:

In der letzten Reihe des Beispiels unten gibt es einen Zweierblock mit der Summe 4. Da die Rechen-Sudoku-Regeln es nicht zulassen, dass eine Zahl in einer Reihe oder Spalte mehr als einmal vorkommt, ist 1+3 die einzig mögliche Kombination. Und da das Kästchen oben links schon eine 3 enthält, gibt es auch nur eine mögliche Reihenfolge, und zwar 1+3, wie Sie im Gitter unten rechts sehen können.

Unique block technique 2 (A) Unique block technique 3 (B)

Eindeutige Blöcke bestimmen 4:

Dieses Beispiel ist dem vorherigen ganz ähnlich, abgesehen davon, dass es zwei leere Kästchen oben in der linken Spalte gibt. Die Kandidaten für diese beiden Kästchen sind 4 und 5. Die 5 ist allerdings zu groß, um sie in das obere linke Kästchen zu setzen, sodass dafür nur die 4 übrig bleibt, wie Sie im Gitter rechts unten sehen können. Jetzt können wir auch die 1 in das Kästchen neben der 4 eintragen.

Unique block technique 4 (A) Unique block technique 4 (B)

Eindeutige Blöcke bestimmen 5:

Dieselben Techniken können wir bei Blöcken anwenden, die Multiplikationen fordern. Die obere Reihe des Beispiels unten enthält einen Dreierblock mit dem Multiplikationsergebnis 6. Da hier nur die Kombination 1x2x3 möglich ist, wissen wir, dass in den beiden Kästchen daneben die Zahlen 4 und 5 stehen müssen. Die 5 kann nicht in das Kästchen rechts außen eingetragen werden, da 8 nur das Produkt von 2x4 sein kann. Also muss die 4 in diesem Kästchen platziert werden und die 2 in dem Kästchen darunter.

Unique block technique 5 (A) Unique block technique 5 (B)

Eindeutige Blöcke bestimmen 6:

Bei dem Beispiel unten handelt es sich um ein DualOp Rechen-Sudoku, bei dem die Rechenarten Multiplikation und Division vorkommen. Ähnlich wie bei den vorherigen Beispielen ist der einzig mögliche Kandidat für das äußere Kästchen in der zweiten Reihe die 3. Und wenn wir die 3 platziert haben, können wir auch die 1 eintragen, da man sonst nicht auf das Divisionsergebnis 3 kommt.

Unique block technique 6 (A) Unique block technique 6 (B)

Eindeutige Blöcke bestimmen 7:

Hier ist ein weiteres Beispiel für diese Technik in einem DualOp Rechen-Sudoku mit Multiplikation und Division. Schauen wir uns den Block mit 2: in der linken Spalte an. Hier sind nur zwei Zahlenkombinationen möglich 2+1 und 4:2, was dazu führt, dass 1, 2 und 4 mögliche Kandidaten für diesen Block sind. Die vierte Reihe enthält allerdings schon eine 1 und eine 4, sodass die einzig mögliche Zahl für das linke Kästchen in der vierten Reihe die 2 ist. Anders als bei den vorherigen Beispielen können wir das Kästchen darüber noch nicht eindeutig klären, da sowohl die 1 als auch die 4 möglich sind.

Unique block technique 7 (A) Unique block technique 7 (B)

Eindeutige Blöcke bestimmen 8:

Manchmal ist es schwierig, eindeutige Blöcke zu erkennen. Die einzig mögliche Kombination für den oberen Block in der rechten Spalte ist 1+2. Wenn wir allerdings den geraden Dreierblock in der ersten Reihe betrachten, sehen wir, dass nur 2+4+5 möglich ist, womit die 2 für den oberen Block in der rechten Spalte ausgeschlossen wäre und die 1 als einziger Kandidat übrig bleibt. Nachdem wir die 1 dort platziert haben, können wir auch die 2 in das Kästchen darunter eintragen.

Unique block technique 8 (A) Unique block technique 8 (B)

Einziger Kandidat

Gemäß der ersten Rechen-Sudoku-Regel darf eine Zahl in jeder Reihe und Spalte nur einmal vorkommen, also kann man auch Sudoku-Techniken anwenden. Schauen wir uns das Kästchen mit dem Fragezeichen in dem Beispiel unten an. Da die 1 und die 5 in dieser Reihe und die 2 und die 4 in dieser Spalte bereits vorkommen, bleibt die 3 als einziger Kandidat für dieses Kästchen übrig.

Single candidate techniques (A) Single candidate techniques (B)

Versteckte einzige Kandidaten

Es gibt Situationen, in denen eine Zahl nur deshalb irgendwo platziert wird, weil sie in einer Spalte oder Reihe nirgendwo sonst platziert werden kann.

Versteckte einzige Kandidaten 1:

Schauen wir uns die linke Spalte des QuadOp Rechen-Sudokus unten an. Die einzig mögliche Kombination in dem unteren Block ist 1+4, auch wenn wir noch nicht wissen, in welcher Reihenfolge. Und im mittleren Block ist nur 5-2 möglich. Auch wenn man mit 4-1 auf dasselbe Ergebnis kommen würde, können diese beiden Zahlen ausgeschlossen werden, da sie in dem Block unten vorkommen müssen. Wenn wir uns jetzt alles noch einmal ansehen, stellen wir sehr schnell fest, dass die 3 die einzige Zahl ist, die für das Kästchen oben links infrage kommt.

Hidden single technique 1 (A) Hidden single technique 1 (B)

Versteckte einzige Kandidaten 2:

Einer ähnlichen Situation begegnen wir in der dritten Reihe des teilweise gelösten Rätsels unten, wo die 5 ausschließlich in dem zweiten Kästchen von rechts platziert werden kann.

Hidden single technique 2 (A) Hidden single technique 2 (B)

Übrigbleibende Felder belegen

Das ist in vielen Situationen eine nützliche Technik, die an das Analysieren und Lösen von Rechen-Sudokun anders herangeht. Sie basiert auf der Tatsache, dass die Summe (oder das Produkt) aller Kästchen in einer Reihe oder Spalte immer dieselbe (dasselbe) ist. Zum Beispiel beträgt in einem 4x4-Rätsel die Summe immer 1+2+3+4=10 und das Produkt ist immer 1x2x3x4=24. Hier sind einige Beispiele für diese Technik:

Übrigbleibende Felder belegen 1:

In der oberen Reihe des Rätsels unten befinden sich zwei grau eingefärbte Blöcke, einer mit der Summe 2 (ein eindeutiger Block) und einer mit der Summe 8. Diese beiden Blöcke ergeben zusammen 2+8=10. Wir wissen aber, dass in einem 5x5-Rechen-Sudoku die Summe jeder Reihe und Spalte 15 (1+2+3+4+5) ergeben muss, d. h., dass die Differenz 5 beträgt. Also können wir die 5 in das Kästchen zwischen diesen beiden Blöcken eintragen.

Grid remainder technique 1 (A) Grid remainder technique 1 (B)

Übrigbleibende Felder belegen 2:

Hier ist ein weiteres Beispiel mit einem Block, der um die Ecke geht: Die linke Spalte enthält zwei grau eingefärbte Blöcke, einen mit der Summe 10, der komplett in dieser Spalte liegt und einen mit der Summe 9, von dem nur zwei Kästchen in dieser Spalte liegen. Zusammen ergeben diese beiden Blöcke 10+9=19. Wir wissen aber, dass in einem 5x5-Rechen-Sudoku die Summe in jeder Reihe und Spalte 1+2+3+4+5=15 ergeben muss. Das ergibt eine Differenz von 19-15=4, die durch das Kästchen im unteren Block verursacht wird, das sich nicht in der linken Spalte befindet, also muss dort eine 4 platziert werden.

Grid remainder technique 2 (A) Grid remainder technique 2 (B)

Übrigbleibende Felder belegen 3:

Diese Technik lässt sich auch bei Blöcken mit Multiplikation sinnvoll anwenden. Die rechte Spalte des Rätsels unten enthält zwei grau eingefärbte Blöcke, einen mit dem Produkt 8, der komplett in dieser Spalte liegt und einen mit dem Produkt 60, von dem sich nur zwei Kästchen in dieser Spalte befinden. Zusammen ergeben diese Blöcke ein Produkt von 8x60=480. Wir wissen aber, dass in einem Rechen-Sudoku (5x5) das Produkt in jeder Reihe und Spalte 1x2x3x4x5=120 sein muss. Das bedeutet, dass der Quotient 480÷120=4 durch das Kästchen verursacht wird, das nicht in dieser Spalte liegt und wir deshalb hier die 4 platzieren müssen.

Grid remainder technique 3 (A) Grid remainder technique 3 (B)

Blöcke lösen

Zu diesen Techniken gehören eine Reihe von Methoden, die helfen, sowohl die Zahl als auch die Platzierung innerhalb eines Blockes herauszufinden:

Blöcke lösen 1:

Die einzig mögliche Kombination für die Summe 14 in dem grau gefärbten Block im Beispiel unten ist 4+5+5. Das trifft für alle Dreierblöcke mit L-Form in einem 5x5-Rätsel zu. Abgesehen davon, dass wir die Zahlen kennen, wissen wir auch, wie sie platziert werden müssen, da die Fünfen nur diagonal zueinander stehen können, um zu vermeiden, dass sie in derselben Spalte oder Reihe zweimal vorkommen.

Intra block technique 1 (A) Intra block technique 1 (B)

Blöcke lösen 2:

Hier ist ein weiteres Beispiel dafür, wie diese Technik helfen kann, einige Zahlen in einem Block herauszufinden. In dem Beispiel unten befinden sich drei Kästchen des grauen Viererblocks in ein und derselben Spalte. Das heißt, dass die einzig mögliche Kombination für diese drei Kästchen 1+2+3=6 ist, denn jede andere Kombination würde 7 oder mehr als 7, die Summe dieses Blockes ergeben, was dazu führen würde, dass das vierte Kästchen leer bleiben müsste. Also können wir die 1 in das vierte Kästchen eintragen.

Intra block technique 2 (A) Intra block technique 2 (B)

Blöcke lösen 3:

Diese Methode kann genauso gut für Blöcke mit Multiplikationen eingesetzt werden. Im Beispiel unten ist die einzig mögliche Kombination für den grauen Block mit dem Produkt 80 4x4x5. Das ist bei allen L-förmigen Dreierblöcken in einem 5x5-Rätsel der Fall. Abgesehen davon, dass wir wissen, welche Zahlen platziert werden müssen, wissen wir auch, wo sie stehen, da die Vieren nur diagonal zueinander stehen können, um zu verhindern, dass sie zweimal in einer Reihe oder Spalte auftauchen.

Intra block technique 3 (A) Intra block technique 3 (B)

Blöcke lösen 4:

Größere Blöcke sind eine größere Herausforderung. Schauen wir uns den grauen Block in dem teilweise gelösten Rätsel unten an. Die kleinstmögliche Summe für die obere Reihe in diesem Block wäre 1+2=3 und dasselbe gilt für die zweite Reihe. Das bedeutet also 3+3=6. Wegen der vorgegebenen Summe 8 in diesem Block kann also im letzten Kästchen nur noch die 1 oder die 2 stehen. Da die 2 in dieser Spalte bereits vorkommt, kommt für das untere Kästchen also nur die 1 infrage.

Intra block technique 4 (A) Intra block technique 4 (B)

Blöcke lösen 5:

In 5x5-Rechen-Sudokun sind die einzigen beiden möglichen Kombinationen für das Produkt 32 in vier Kästchen 1x2x4x4 and 2x2x2x4. Wenn wir uns den grauen L-förmigen Block im Beispiel unten anschauen, wird klar, dass die zweite Kombination nicht möglich ist, denn egal, wie wir die Zahlen platzieren, wird es immer zwei Zweien in derselben Reihe oder Spalte geben. Das heißt, dass nur 1x2x4x4 erlaubt ist, und die 4 in dem linken Kästchen platziert werden muss, um einen Konflikt mit der anderen 4 zu vermeiden.

Intra block technique 5 (A) Intra block technique 5 (B)

Fortgeschrittene Techniken

Mit den bis hierher beschriebenen Techniken wird es nicht möglich sein, schwierige Rätsel zu lösen. Für diese braucht man fortgeschrittene Techniken, um viele spezielle und interessante logische Situationen herauszuarbeiten. Bei vielen fortgeschrittenen Techniken blickt man nach vorne, stellt Vermutungen an und schaut ein oder zwei Schritte weiter nach möglichen Konflikten. Hier sind einige Beispiele, mit denen man spezielle Situationen lösen kann. Sie werden selbst noch viele weitere entwickeln, wenn Sie ein schwieriges Rechen-Sudoku lösen:

Fortgeschrittene Technik 1:

Unten sehen Sie ein teilweise gelöstes Rechen-Sudoku (5x5). Wir wissen, dass die linke Spalte eine 5 enthalten muss. Das bedeutet, dass die kleinstmögliche Summe der grau gefärbten Blöcke in der linken Spalte 1+2+5=8, in der zweiten Spalte 1+2+3=6 und in der dritten Spalte 1+2=3 ist, was zusammen 8+6+3=17 ergibt. Da 17 mehr ist als die Summe dieses Blockes, wissen wir, dass unsere anfängliche Vermutung falsch ist und die 5 in dem unteren Kästchen der linken Spalte platziert werden muss.

Advanced technique 1 (A) Advanced technique 1 (B)

Fortgeschrittene Technik 2:

Diese Technik ist der ersten sehr ähnlich, mit dem Unterschied, dass man von der entgegengesetzten Vermutung ausgeht, um zu beweisen, dass eine Zahl in einem bestimmten Kästchen platziert werden muss. Unten sehen Sie ein teilweise gelöstes Rechen-Sudoku (5x5). Nehmen wir an, dass die 5 in der zweiten Reihe nicht in einem der rot gepunkteten Kästchen platziert werden muss. Das bedeutet, dass die größtmögliche Summe in den grau gefärbten Feldern in der oberen Reihe 2+5=7, in der zweiten Reihe 2+3+4=9 und in der dritten Reihe 5 beträgt, was zusammen 7+9+5=21 ergibt. Da 21 weniger ist als die Summe dieses Blockes, wissen wir, dass unsere anfängliche Vermutung falsch ist und die 5 in einem der rot gepunkteten Felder platziert werden muss. Auch wenn wir noch nicht sagen können, wo genau, wissen wir jetzt, wo die 1 und die 5 in der linken Spalte eingetragen werden müssen.

Advanced technique 2 (A) Advanced technique 2 (B)

Fortgeschrittene Technik 3:

Wie in jedem 5x5-Rechen-Sudoku beträgt die Summe in den grau gefärbten Kästchen in der linken Spalte 1+2+3+4+5=15. Da die Summe dieses Blockes 20 ist, brauchen wir für die zwei rot gepunkteten Felder zwei Zahlen, die zusammen 5 ergeben. Lassen Sie uns jetzt die zweite Spalte von links betrachten, um zu sehen, wo die 5 platziert werden könnte. Wir dürfen Sie nicht in die rot gepunkteten Felder setzen, da sonst die Summe dieses Blockes über 20 liegen würde. Wir können sie auch nicht in den L-förmigen Block über den roten Punkten eintragen, weil nur 1x1x4 oder 1x2x2 4 ergibt. Also kann die 5 nur in dem oberen Kästchen der zweiten Spalte platziert werden, wie Sie unten rechts sehen können.

Advanced technique 3 (A) Advanced technique 3 (B)
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